Если один из родителей является неработающим, то сохраняется ли за вторым родителем, который трудоустроен, право на свободный день в неделю (при наличии троих детей в возрасте до 16 лет)?

Нет, не сохраняется.

Частью 2 ст. 265 Трудового кодекса Республики Беларусь от 26.07.1999 № 296-З (далее — ТК) предусмотрено право матери (мачехи) или отца (отчима), опекуна (попечителя), воспитывающей (воспитывающего) ребенка-инвалида в возрасте до 18 лет либо троих и более детей в возрасте до 16 лет, по ее (его) письменному заявлению:

на предоставление одного дополнительного свободного от работы дня в неделю с оплатой в размере среднего заработка;
на сокращение установленной продолжительности работы (смены) на один час с сохранением заработной платы по согласованию с нанимателем, если это не препятствует нормальной деятельности организации, в порядке и на условиях, определенных Инструкцией о порядке и условиях предоставления одного дополнительного свободного от работы дня в неделю с оплатой в размере среднего заработка или сокращения продолжительности работы (смены) на один час с сохранением заработной платы, утвержденной постановлением Министерства труда и социальной защиты Республики Беларусь от 11.06.2014 № 34 (далее — Инструкция).

Пунктом 2 Инструкции установлено, что свободный день в неделю предоставляется, сокращение работы (смены) на один час производится работнику при наличии следующих условий:

в семье работника воспитывается ребенок-инвалид в возрасте до 18 лет либо трое и более детей в возрасте до 16 лет;
работник в этой рабочей неделе занят на работе 5 или 6 рабочих дней с продолжительностью рабочего времени в неделю не менее установленной в ст. 112–114 ТК с учетом п. 6 Инструкции;
другой родитель (мать (мачеха), отец (отчим)) в полной семье является занятым в соответствии с п. 8 Инструкции.

В силу п. 8 Инструкции к занятости другого родителя (матери (мачехи), отца (отчима)) в полной семье и документам, подтверждающим их занятость, относится в т.ч. работа по трудовому договору, что должно подтверждаться справкой о месте работы, службы и занимаемой должности, содержащей сведения о предоставлении (непредоставлении) ему (ей) свободного дня в неделю или о сокращении (отсутствии сокращения) работы (смены) на один час либо справкой о нахождении в отпуске по уходу за ребенком до достижения им возраста 3 лет.

Кроме того, является занятым согласно п. 8 Инструкции гражданин, выполняющий работы по гражданско-правовому договору, предметом которого являются оказание услуг, выполнение работ и создание объектов интеллектуальной собственности, что подтверждается гражданско-правовым договором. Пунктом 8 Инструкции предусмотрено достаточно большое количество оснований, при которых гражданин будет являться занятым.

С учетом норм Инструкции если второй родитель является незанятым, т.е. не представляет перечисленные в п. 8 Инструкции документ(ы), то права у работающего по трудовому договору (контракту) родителя на свободный день не имеется.